Studio Technica

Data: 12/06/2006

Campo di rottura duttile per una sezione rettangolare in CA semplicemente armata soggetta a flessione semplice

Questo campo di rottura è caratterizzato dalla rottura del calcestruzzo al bordo compresso (εc = εcu) con acciaio già snervato (εsd > εs > εyd) ed è importante perchè rappresenta una situazione di rottura di tipo duttile.
Nel seguito ci si propone di indicare i criteri progettuali necessari per il corretto dimensionamento di sezioni di questo tipo, se ne evidenzieranno le caratteristiche fisico-meccaniche e geometriche e da queste se ne dedurranno il dominio di rottura duttile definendone le condizioni limite.

Si ipotizza per prima cosa il principio della conservazione delle sezioni piane e si definisce in questo modo un asse di rotazione denominato asse neutro distante x dal lembo superiore della sezione. Dato che si considera il caso della flessione semplice la generica sezione può solo ruotare e non traslare attorno a tale asse, il ché equivale ad imporre l'equilibrio alla traslazione e cioè che la risultante R degli sforzi di compressione del calcestruzzo equivalga alla risultante Z degli sforzi di trazione nell’armatura tesa.

Nel caso in esame essendo l’acciaio già snervato lo sforzo fsd nel campo di rottura considerato è costante e noto; la risultante Z allora è data da:
Z = As fsd
Per quanto riguarda la risultante della compressione sul calcestruzzo utilizzando il modello rettangolare equivalente o "stress-block"[1] abbiamo:
R = β0 b x fc1.
Imponendo il suddetto equilibrio alla traslazione si può calcolare la posizione dell’asse neutro per una data sezione.

R-Z=0
x = (As fsd)/(β0 b fc1)

Risulta evidente che per una determinata geometria della sezione e per una determinata configurazione resistente dei materiali e nelle ipotesi suddette, la posizione dell'asse neutro risulta univocamente determinata.

Si possono anche definire altri due importanti parametri utili per caratterizzare la sezione, questi due parametri sono il "rapporto meccancio di armatura" ωs e la posizione adimensionalizzata dell'asse neutro ξ:

ωs = (As fsd)/(b h fc1)
ξ = x/h
x = (As fsd)/(β0 b fc1) = ωs h / β0 = ξ h

Uno qualsiasi di questi 3 parametri x, ξ o ωs è sufficiente a caratterizzare una sezione in cemento armato di tipo duttile o mediamente armata con armatura semplice.

Come già accennato si procede adesso alla determinazione dei limiti che caratterizzano il campo di rottura in oggetto.
Il campo in questione è limitato da due situazioni estreme che sono quelle in cui, ferma restando la rottura del calcestruzzo al lembo compresso l’acciaio può trovarsi nella situazione di rottura convenzionale (εs = εsd) o nella situazione di snervamento (εs = εyd).
Il primo limite lo separa dal campo delle forti armature il secondo dal campo delle deboli armature.
In generale nota la deformazione al lembo teso ed a quello compresso è possibile calcolare la posizione dell’asse neutro nella ipotesi della conservazione delle sezioni piane risolvendo la seguente equazione, in cui si considerano positive le componenti di trazione:

x = -εlc h /(εlt – εlc)

Sostituendo nella equazione soprastante gli opportuni valori di deformazione si può calcolare allora la posizione dell’asse neutro in entrambe le situazioni limite.
La prima situazione limite dipende esclusivamente dai valori limiti di rottura convenzionali adottati ed utilizzando i valori εcu=-0,0035 e εsd=0,01 i valori limite xa, ξa o ωsa risultano indipendenti dal tipo di calcestruzzo e di acciaio impiegati.

xa = 0.0035 h /(0.01 + 0.0035) = 0.259259259 h
ξa = 0.259259259
ωsa = β0 ξa = 0.21

La seconda situazione limite invece dipende anche dal tipo di acciaio utilizzato in quanto il valore convenzionale εyd viene stimato dividendo la resistenza a trazione caratteristica dell’acciaio per il proprio modulo elastico.

εyd = fsd / Es

Nella tabella seguente si riportano i valori limite xc, ξc o ωsc per gli acciai da carpenteria.

Tabella 1. Valori limite di xc, ξc o ωsc
FeB 22k FeB 32k FeB 38k FeB 44k
fyd 215 315 375 430
fsd 187 274 326 374
εyd 0.0009076 0.0013297 0.0015829 0.0018151
ξc 0.7940909 0.7246864 0.6885770 0.6584998
ωsc 0.6352727 0.5797492 0.5508616 0.5267998

Noti questi valori e le caratteristiche fcd ed fsd dei materiali è possibile calcolare anche i limiti dei rapporti geometrici di armatura.

ρ = As/(b h) = ωs/(fsd/fc1)

Nella tabella seguente si riassumono tutti i valori per ogni combinazione di acciaio da carpenteria con i calcestruzzi di Rck 25, 30 ,35 e 40.

Tabella 2. Valori limite del rapporto geometrico di armatura per varie combinazioni di materiali
FeB 22k FeB 32k FeB 38k FeB 44k
fyd = 215 [MPa] fyd = 315 [MPa] fyd = 375 [MPa] fyd = 430 [MPa]
fsd = 187 [MPa] fsd = 274 [MPa] fsd = 326 [MPa] fsd = 374 [MPa]
εyd = 0.0009076 εyd = 0.0013297 εyd = 0.0015829 εyd = 0.0018151
ξa = 0.259 ξa = 0.259 ξa = 0.259 ξa = 0.259
ξc = 0.794 ξc = 0.725 ξc = 0.689 ξc = 0.658
ωsa = 0.207 ωsa = 0.207 ωsa = 0.207 ωsa = 0.207
ωsc = 0.635 ωsc = 0.580 ωsc = 0.551 ωsc = 0.527
Rck 25 fck = 20.75 [MPa] fcd = 12.97 [MPa] fc1 = 11.02 [MPa] fsd/fc1 = 16.96 fsd/fc1 = 24.85 fsd/fc1 = 29.58 fsd/fc1 = 33.92
ρa = 0.01223 ρa = 0.00835 ρa = 0.00701 ρa = 0.00611
ρc = 0.03746 ρc = 0.02333 ρc = 0.01862 ρc = 0.01553
Rck 30 fck = 24.90 [MPa] fcd = 15.56 [MPa] fc1 = 13.23 [MPa] fsd/fc1=14.13 fsd/fc1=20.71 fsd/fc1=24.65 fsd/fc1=28.27
ρa = 0.01468 ρa = 0.01002 ρa = 0.00841 ρa = 0.00734
ρc = 0.04495 ρc = 0.02800 ρc = 0.02235 ρc = 0.01864
Rck 35 fck = 29.05 [MPa] fcd = 18.16 [MPa] fc1 = 15.43 [MPa] fsd/fc1=12.11 fsd/fc1=17.75 fsd/fc1=21.13 fsd/fc1=24.23
ρa = 0.01712 ρa = 0.01169 ρa = 0.00982 ρa = 0.00856
ρc = 0.05244 ρc = 0.03266 ρc = 0.02607 ρc = 0.02174
Rck 40 fck = 33.20 [MPa] fcd = 20.75 [MPa] fc1 = 17.64 [MPa] fsd/fc1=10.60 fsd/fc1=15.53 fsd/fc1=18.49 fsd/fc1=21.20
ρa = 0.01957 ρa = 0.01336 ρa = 0.01122 ρa = 0.00978
ρc = 0.05993 ρc = 0.03733 ρc = 0.02980 ρc = 0.02485

[1] G. Toniolo. Tecnica delle costruzioni - Cemento armato. Zanichelli. Bologna. 2000

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