La rigidezza del pannello murario è una grandezza che indica il rapporto tra la forza orizzontale applicata sulla sommità del pannello e lo spostamento orizzontale dello stesso punto in cui tale forza è applicata.
Il calcolo di questa grandezza è fondamentale per la verifica sismica delle pareti portanti e serve anche nei casi di semplici interventi locali quali la realizzazione di aperture in pareti portanti.
Nella recente normativa tecnica (NTC 2008 [1] e NTC 2018 [2]) non vengono riportate le formule necessarie per questo calcolo e andando a ritroso nella cronologia normativa italiana se ne trova una formulazione solo nella Circolare 30 luglio 1981 n. 21745 [3] la cui formula è riportata di seguito:
K = G A / {( 1,2 h ) x [ 1 +G ( h / b )2/( 1,2 E )]}
La formulazione indicata nella Circolare 21745 [3] è valida solo per i cosiddetti pannelli murari vincolati in "double bending" (cioè impediti di ruotare sia alla base che in sommità) o "muri con vincolo di incastro" secondo la convenzione italiana. La rigidezza di un pannello murario con vincolo a mensola (cioè impedito di ruotare solo alla base) è diversa.
Per i calcoli che seguono è stato seguito l'approccio indicato sul testo di Galano - Betti [4].
Si suppone di avere un pannello murario si spessore s, lungo b e alto h e che la muratura abbia moduli elastici noti E e G.
Lo spostamento orizzontale δ del punto situato sulla sommità del pannello murario in cui si applica la forza orizzontale V, è dato dalla somma di due componenti di spostamento pari ai contributi deformativi dovuti alla flessione δf ed al taglio δt.
δ = δf +δt
Il valore K della rigidezza del pannello per come è stata definita tale grandezza vale:
K = V / δ = V / ( δf + δt )
Situazione con "Vincolo di Incastro"
Per un pannello murario con vincolo di incastro si ha:
δf = V h3 / ( 12 E J ); δt = V h / ( G At )
dove:
At = χ A = χ b s
Possiamo quindi determinare il valore K della rigidezza del pannello nel modo seguente:
K = V / δ = V / ( δf + δt )
Sostituendo i valori degli spostamenti δf e δt validi per la situazione dell'incastro si ottiene:
K = G A / {( χ h ) x [ 1 +G ( h / b )2/( χ E )]}
dato che i pannelli murari hanno una sezione rettangolare in pianta di dimensioni b x s e che per le sezioni rettangolari χ vale 1,2 la formulazione precedente è la medesima della Circolare 21745 [3].
K = G A / {( 1,2 h ) x [ 1 +G ( h / b )2/( 1,2 E )]}
Situazione con "Vincolo da Mensola"
Per un pannello murario con vincolo a mensola si ha:
δf = V h3 / ( 3 E J ); δt = V h / ( G At )
Il valore della rigidezza K del pannello murario è ancora calcolabile come nel caso precedente:
K = V / δ = V / ( δf + δt )
Sostituendo i nuovi valori degli spostamenti δf e δt validi per la situazione con vincolo a mensola si ha:
K = G A / {( χ h ) x [ 1 + 4 G ( h / b )2/( χ E )]}
K = G A / {( 1,2 h ) x [ 1 + 4 G ( h / b )2/( 1,2 E )]}
Situazione con Vincolo Parametrico
Volendo generalizzare la formulazione per il calcolo della rigidezza K , parametrizzandola con un valore n che tenga conto del grado di vincolo, si può procedere nel modo seguente:
K = V / δ = V / ( δf + δt )
δf = V h3 / ( n E J ); δt = V h / ( G At )
dove:
n tiene conto del grado di vincolo del pannello murario (n = 12 per pannello con vincolo di incastro e n = 3 per pannello con vincolo a mensola)
Utilizzando questo approccio si ottiene la seguente formula:
K = 1 / { [ h3 / ( n E J ) ] + [ χ h / ( G A ) ] }
Bibliografia
[1] D.M. 14.01.2008 - Nuove norme tecniche per le costruzioni, Ministero Infrastrutture e Trasporti
[2] D.M. 17.01.2018 - Aggiornamento delle Norme tecniche per le costruzioni, Ministero Infrastrutture e Trasporti
[3] Circolare 30 luglio 1981 n. 21745 - Legge 14.maggio 1981, n. 219 Art.10 «Istruzioni relative alla normativa tecnica per la riparazione ed il rafforzamento degli edifici in muratura danneggiati dal sisma» - Ministero dei Lavori Pubblici
[4] Elementi di statica delle costruzioni storiche in muratura, L.Galano, M. Betti - Società Editrice Esculapio, Bologna 2019